问题 解答题

已知△ABC的周长为12,顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),C为动点.

(1)求动点C的轨迹E的方程;

(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合),使它们分别与曲线E交于两点,求四点所对应的四边形的面积的最大值.

答案

(1)=1(x≠±4)

(2)16

(1)由题意知|CA|+|CB|=12-4=8>|AB|,所以C的轨迹E为椭圆的一部分.

由a=4,c=2,可得b2=12.

故曲线E的方程为=1(x≠±4).

(2)设两直线的方程为y=kx与y=-kx(k>0).记y=kx与曲线E在第一象限内的交点为(x0,y0),由,可得x02

结合图形的对称性可知:四交点对应的四边形为矩形,且其面积S=2x0·2y0=4kx02

因为k>0,所以S==16 (当且仅当k=时取等号).故四边形面积的最大值为16

选择题
单项选择题