问题 解答题
已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤
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,求a的取值范围.
答案

(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)•f(-1),

∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R

∴f(x)为偶函数.

(2)若x≥0,则f(x)=f(

x
x
)=f(
x
)
f(
x
)
=[f(
x
)
]2≥0.

若存在x0>0,使得f(x0)=0,则f(27)=f(x0

27
x0
)=f(x0)f(
27
x0
)=0,与已知矛盾,

∴当x>0时,f(x)>0

设0≤x1<x2,则0≤

x1
x2
<1,

∴f(x1)=f(

x1
x2
x2)=f(
x1
x2
)
•f(x2),

∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.

∴0≤f(

x1
x2
)<1,

∴f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

(3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3

∴9=[f(3)]3

∴f(3)=

39

∵f(a+1)≤

39

∴f(a+1)≤f(3),

∵a≥0,

∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞),

∵函数在[0,+∞)上是增函数.

∴a+1≤3,即a≤2,

又a≥0,

故0≤a≤2.

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