问题
解答题
| 已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1． （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明； （3）若a≥0且f（a+1）≤
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答案
（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）为偶函数．
（2）若x≥0，则f（x）=f(
•x
)=f(x
)•f(x
)=[f(x
)]2≥0．x
若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则f(27)=f(x0•
)=f(x0)f(27 x0
)=0，与已知矛盾，27 x0
∴当x＞0时，f（x）＞0
设0≤x1＜x2，则0≤
＜1，x1 x2
∴f（x1）=f(
•x2)=f(x1 x2
)•f（x2），x1 x2
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤f(
)＜1，x1 x2
∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，
∴f（3）=
，3 9
∵f（a+1）≤
，3 9
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），
∵函数在[0，+∞）上是增函数．
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，
故0≤a≤2．