问题
解答题
已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若a≥0且f(a+1)≤
|
答案
(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)•f(-1),
∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R
∴f(x)为偶函数.
(2)若x≥0,则f(x)=f(
•x
)=f(x
)•f(x
)=[f(x
)]2≥0.x
若存在x0>0,使得f(x0)=0,则f(27)=f(x0•
)=f(x0)f(27 x0
)=0,与已知矛盾,27 x0
∴当x>0时,f(x)>0
设0≤x1<x2,则0≤
<1,x1 x2
∴f(x1)=f(
•x2)=f(x1 x2
)•f(x2),x1 x2
∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
∴0≤f(
)<1,x1 x2
∴f(x1)<f(x2),
故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3,
∴9=[f(3)]3,
∴f(3)=
,3 9
∵f(a+1)≤
,3 9
∴f(a+1)≤f(3),
∵a≥0,
∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞),
∵函数在[0,+∞)上是增函数.
∴a+1≤3,即a≤2,
又a≥0,
故0≤a≤2.