问题 解答题
已知函数f(x)=2x+
a
x
,且f(1)=1   
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
答案

(1)∵f(1)=1,

∴2+a=1,得a=-1

(2)函数的定义域是{x|x≠1}

又f(-x)=-2x-

a
x
=-(2x+
a
x
)=-f(x),所以,函数是奇函数

(3)由(1)f(x)=2x-

1
x
,此函数在(1,+∞)上是增函数

任取1<x1<x2<+∞,

f(X1)-f(x2)=(2 x1-

1
x 1
)-(2x2-
1
x 2
)=
(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)   
x 1x 2

由于1<x1<x2<+∞,可得2x1x2+1>0,x1-x20

∴f(X1)-f(x2)=

(2x 1x 2+1)(x 1-x 2)   
x 1x 2
<0,

∴f(X1)<f(x2

∴函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.

单项选择题
单项选择题 B1型题