问题
解答题
在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（-2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为-
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点（
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答案
（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），
依题意，有
-y x-2
=-y x+2
(x≠±2)．（3分）3 4
化简并整理，得
+x2 4
=1(x≠±2)．y2 3
∴动点P的轨迹C的方程是
+x2 4
=1(x≠±2)．（4分）y2 3
（Ⅱ）依题意，直线l过点(
，0)且斜率不为零，故可设其方程为1 2
x=my+
，（5分）1 2
由方程组
消去x，并整理得x=my+ 1 2
+x2 4
=1y2 3
4（3m2+4）y2+12my-45=0（6分）
设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则
∴y1+y2=-
，（7分）3m 3m2+4
∴y0=
=-y1+y2 2 3m 2(3m2+4)
∴x0=my0+
=1 2
，2 3m2+4
∴k=
=y0 x0-2
，（9分）m 4m2+4
①当m=0时，k=0；（10分）
②当m≠0时，k=1 4m+ 4 m
∵|4m+
|=4|m|+1 m
≥8，∴0＜4 |m|
≤1 |4m+
|4 m
．1 8
∴0＜|k|≤
．∴-1 8
≤k≤1 8
且k≠0．（11分）1 8
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：--
≤k≤1 8
．（12分）1 8