在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足AB•AP=6

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足

•

=6|

|．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．

答案

（1）设P（x，y），则

=(-3，0)，

=(x-4，y)，

=(1-x，-y)，

因为

•

=6|

|，所以-3(x-4)=6

(x-1)2+y2

，

化简整理得点P的轨迹C的方程为

=1．

（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由C的对称性，得P（-x₁，-y₁）、Q（-x₂，-y₂），

因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，

•

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，

由

y=x+b

得7x²+8bx+（4b²-12）=0，x1+x2=-

，x1x2=

4b2-12

x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=b2-

=0，

检验知，此时△=(8b)2-4×7×(4b2-12)=336-48b2=

1200

＞0，

所以b=

．