问题 解答题

已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.

(1)求f(8)的值;      

(2)求不等式f(x)>3+f(x-2)的解集.

答案

(1)由题意得f(8)=f(4×2)

=f(4)+f(2)

=f(2×2)+f(2)

=f(2)+f(2)+f(2)

=3f(2),

又∵f(2)=1,

∴f(8)=3…(6分)

(2)不等式化为f(x)>f(x-2)+3

∵f(8)=3,

∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)…(8分)

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数

∴解得2<x<

16
7

∴不等式f(x)>3+f(x-2)的解集为{x|2<x<

16
7
}…(12分)

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