问题
解答题
已知三个函数y=|x|+1，y=
（1）求证：（a-1）2=4（b+1）； （2）设x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，求|x1-x2|的取值范围． |
答案
（1）三个函数的最小值依次为1，
，t
，t
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x2+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为
，t
，t
则
，即4（a+b+1）=（a+1）2．a+b+1=t a+1=-2 t
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，则x1，x2是函数f'（x）=3x2+2ax+b=0的两个根．
故x1+x2=-
，x1x2=2a 3
，△=4a2-2b＞0，b 3
所以△=4a2-3（a-1）2+12=（a+3）2，
所以|x1-x2|=
，而2|a+3| 3
=-(a-1)，t
得a=-1-2
∈(-3，-1)，t
故|x1-x2|∈(0，
)．2 3