动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过

问题解答题

动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N．

（1）求曲线C的方程；

（2）求证：直线MN必过定点．

答案

（1）∵动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，

∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，

∴点P的轨迹为抛物线，曲线C的方程为y²=4x；

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0

∴x₁+x₂=

2(k2+2)

∴x_M=

k2+2

，∴y_M=k（x_M-1）=

∴M（

k2+2

，

）

∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-

，可得N（2k²+1，-2k）

∴直线MN的方程为y+2k=

-2k-

2k2+1-

k2+2

（x-2k²-1）

整理得（1-k²）y=k（x-3）

∴不论k为何值，直线MN必过定点T（3，0）．