问题
解答题
动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线MN必过定点．
答案
（1）∵动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴点P的轨迹为抛物线，曲线C的方程为y2=4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），代入y2=4x可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∴x1+x2=2(k2+2) k2
∴xM=
，∴yM=k（xM-1）=k2+2 k2 2 k
∴M（
，k2+2 k2
）2 k
∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-
，可得N（2k2+1，-2k）1 k
∴直线MN的方程为y+2k=
（x-2k2-1）-2k- 2 k 2k2+1- k2+2 k2
整理得（1-k2）y=k（x-3）
∴不论k为何值，直线MN必过定点T（3，0）．