问题
解答题
设F1，F2分别是椭圆C：
（1）设椭圆C上的点(
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程 （3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，KPN试探究kPM•KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论． |
答案
（1）由于点(
，3
)在椭圆上，3 2
+(
)23 a2
=1(
)23 2 b2
2a=4，
椭圆C的方程为
+x2 4
=1y2 3
焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）
（2）设KF1的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）
把K的坐标代入椭圆
+x2 4
=1中得y2 3
+(2x+1)2 4
=1(2y)2 3
线段KF1的中点B的轨迹方程为(x+
)2+1 2
=1y2 3 4
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x0，y0）N（-x0，-y0），p（x，y）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得
+x02 a2
=1，y02 b2
+x2 a2
=1y2 b2
kPM=
，KPN=y-y0 x-x0 y+y0 x+x0
kPM•KPN=
•y-y0 x-x0
=y+y0 x+x0
=-y2-y02 x2-x02 b2 a2
kPM•KPN的值与点P及直线L无关
