（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，-

3

），（0，

3

）为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，故曲线C的方程为x²+

y2

4

=1．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

消去y并整理得

（k²+4）x²+2kx-3=0，

故x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．

∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0．

∵y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，

∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，化简得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．