在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它

问题解答题

在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；

（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和轨迹C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d．

即：2

(x+1)2+y2

=|4+x|，

平方化简得3x²+4y²=12，即

=1．

点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2

，焦点在x轴上的椭圆．

（Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．

联立方程得：

y=x+m

⇒7x²+8mx+4m²-12=0，

x₁+x₂=-

，x₁x₂=

4m2-12

，

△=64m²-4×7×4（m²-3）=48（7-m²）＞0

|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

7-m2

．

点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为

|m|

．

∴S_△=

7-m2

|m|

(7-m2)m2

≤

7-m2+m2

．

当且仅当7-m²=m²，即m=±

时，满足△=48（7-m²）＞0，

∴存在实数m=±

，使△ABQ的面积S最大，最大值为

．