问题
解答题
设函数f(x)=x+
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点； （2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值． |
答案
（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-
，f/(x)=1-lnx x
=1-lnx x2 x2+lnx-1 x2
令g（x）=x2+lnx-1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根．g/(x)=2x+
，1 x
当x＞0时，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且当x∈（0，1）时，f/(x)=
＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；g(x) x2
当x∈（1，+∞）时，f/(x)=
＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数g(x) x2
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-
=1．ln1 1
（3）f/(x)=1+
=a-alnx x2
，令h（x）=x2-alnx+ax2-alnx+a x2
由题设，对任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=
=2x2-a x 2(x-
)(x+a 2
)a 2 x
当x∈(0，
时，h/（x）＜0，h（x）是减函数；
)a 2
当x∈(
，+∞)时，h/（x）＞0，h（x）是增函数；a 2
所以当x=
时，h（x）有极小值，也是最小值h(a 2
)=(a 2
-ln3 2
)a，a 2
又由h（x）≥0得(
-ln3 2
)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值为2e3．a 2