已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足|AC|=2，AD=12(A

问题解答题

已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足|

|=2，

(

)．
（1）求点D的轨迹方程；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为

，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．

答案

（1）设C、D点的坐标分别为C（x₀，y₀），D（x，y），

则

=(x0+2，y0），

=(4，0)，

则

=(x0+6，y0)，

故

(

)=(

+3，

)．

又

x0=2x-2

y0=2y.

代入|

(x0+2)2+

=2中，整理得x²+y²=1，

即为所求点D的轨迹方程．

（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①

又设椭圆方程为

=1，②

因为直线l：kx-y+2k=0与圆x²+y²=1相切．

故

|2k|

k2+1

=1，

解得k2=

．将①代入②整理得，（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，③

将k2=

代入上式，

整理得(a2-3)x2+a2x-

a4+4a2=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则x1+x2=-

a2-3

，

由题意有，求得．

经检验，此时③的判别式

故所求的椭圆方程为

=1．