问题
解答题
已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.
(1)求证:(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.
答案
(1)∵圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,∴其圆心为(1,1),半径为1依题设直线l:
+x a
=1,(2分)y b
由圆C与l相切得:1=
⇒(a-2)(b-2)=2(4分)|a+b-ab| a2+b2
(2)设线段AB中点为M(x,y),由中点坐标公式得
⇒x= a 2 y= b 2
.(6分)a=2x b=2y
代入(a-2)(b-2)=2可得2(x-1)(y-1)=1(x>1)即为所求的轨迹方程.(8分)
(3)S△AOB=
ab.由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b).(10分)a+b≥21 2
⇒ab-4ab
+2≥0⇒ab
≥2+ab
.(11分)当且仅当a=b=2+2
时,△AOB的面积的最小值为3+22
(12分)2