问题 解答题

已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.

(1)求证:(a-2)(b-2)=2;

(2)求线段AB中点的轨迹方程;

(3)求△AOB面积的最小值.

答案

(1)∵圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,∴其圆心为(1,1),半径为1依题设直线l:

x
a
+
y
b
=1,(2分)

由圆C与l相切得:1=

|a+b-ab|
a2+b2
⇒(a-2)(b-2)=2(4分)

(2)设线段AB中点为M(x,y),由中点坐标公式得

x=
a
2
y=
b
2
a=2x
b=2y
.(6分)

代入(a-2)(b-2)=2可得2(x-1)(y-1)=1(x>1)即为所求的轨迹方程.(8分)

(3)S△AOB=

1
2
ab.由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b).(10分)a+b≥2
ab
⇒ab-4
ab
+2≥0⇒
ab
≥2+
2
.(11分)当且仅当a=b=2+
2
时,△AOB的面积的最小值为3+2
2
(12分)

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