问题
解答题
已知A（4，0），N（1，0），若点P满足
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）求|
（3）若M（-1，0），求∠MPN在[0，π]上的取值范围． |
答案
（1）设P（x，y），
=（x-4，y），AP
=（1-x，-y），PN
=（-3，0），AN
∵
•AN
=6||，AP
∴-3（x-4）=6
，即3x2+4y2=12．(1-x)2+(-y)2
∴
+x2 4
=1．∴P点的轨迹是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．y2 3
（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，
设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4-x0，
=e=|PN| d
，|PN|=1 2
d=1 2
．4-x0 2
∵-2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3．
当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（-2，0）．
（3）令|PN|=t（1≤t≤3），
则|PM|=4-t，|MN|=2，
cos∠MPN=
=|PN|2+|PM|2-|MN|2 2|PN||PM|
=-1+t2+(4-t)2-4 2t(4-t)
．6 t(4-t)
由1≤t≤3，得3≤t（4-t）≤4，
∴
≤cos∠MPN≤1，1 2
∴0≤∠MPN≤
．π 3