（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0

∵该直线与圆 x2+(y-

2

)2=1相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）

故设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

a2

=1，又∵双曲线C的一个焦点为(

2

，0)

∴2a²=2，a²=1，∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（6分）

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|

若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|…（8分）

根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂(

2

，0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①…（10分）

由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T）

则

x= xT- 2 2 y= yT 2

，，即

xT=2x+ 2 yT=2y

…（12分）

代入①并整理得点N的轨迹方程为 x2+y2=1，(x≠

2

2

)…（14分）