问题
单项选择题
设A为m×n实矩阵，r
A．=n，则(A) ATA必合同于n阶单位矩阵．
B．AAT必等价于m阶单位矩阵．
C．ATA必相似于n阶单位矩阵．
D．AAT是m阶单位矩阵．
答案
参考答案：A
解析：[分析] 注意到题中ATA和AAT都是实对称矩阵，其合同于单位矩阵的充分必要条件是其为正定矩阵，而方阵等价于单位矩阵的充分必要条件是其为可逆矩阵，方阵相似于单位矩阵的充分必要条件为其是单位矩阵．
对任意n维非零列向量x，由r(A)=n可知Ax≠0，而
xT(ATA)x=(Ax)T(Ax)=|Ax|2＞0，
所以ATA为正定矩阵，故选(A)．而AAT是m×m矩阵，由题设不能得出r(AAT)=m，因此选项(B)不成立，进而选项(D)也不成立．矩阵ATA的特征值不一定都是1，因而选项(C)不一定成立．