参考答案：A

解析：[分析] 对于(A)：因为A正定，所以对任意的非零向量x，都有x^TAx＞0，取x_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T≠0，即第i个分量为1，其余分量为0，则
[*]
即正定矩阵主对角线元素全大于零．因此，(A)不正确，应选(A)．
对于(B)：由于A正定，故A^T=A，所以(A^-1)^T=(A^T)-1=A^-1，故A^-1亦为对称矩阵，对此有如下几种证法：
方法1° 由A正定，故A与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵M，使A=M^TM．于是有A^-1=M^-1(M^T)^-1=M^-1(M^-1)^T．令矩阵Q=(M^-1)^T，则Q可逆，且使A^-1=Q^TQ，即A^-1与单位矩阵E合同，故A^-1为正定矩阵．
方法2° 由于A正定，则A的特征值全大于零．设λ为A的任一特征值，则[*]为A^-1的特征值，且[*]．因此，对称矩阵A^-1的特征值全大于零，故A^-1是正定矩阵．(B)正确．
对于(C)：由于A^*=|A|A^-1，A^-1是对称矩阵，故A^*为对称矩阵．因此，也有两种证法：
方法1° 由于已证A^-1正定，故对于x∈Rⁿ，x≠0，均有x^TA^-1x＞0．又由A正定，有|A|＞0，故对于x∈Rⁿ，x≠0，均有x^TA^*x=x^T|A|A^-1x=|A|x^TA^-1x＞0，即二次型x^TA^*x正定，所以A^*正定．
方法2° 由A正定知，A的特征值都大于零．设λ为A的任一特征值，有λ＞0，又因为|A|＞0，战A^*的特征值[*]．因此，对称矩阵A^*的特征值全大于零，所以A^*为正定矩阵．(C)正确．
对于(D)：由A为对称矩阵，故(A^k)^T=(A^T)^k=A^k，即A^k为对称矩阵．又由于A的全部特征值λ_i＞0(i=1，2，…，n)，因此A^k的全部特征值[*](i=1，2，…，n)，故A^k正定．(D)正确．