问题 单项选择题

设A为n阶矩阵,则下列命题
①设A为n阶实可逆矩阵,如果A与-A合同,则n必为偶数
②若A与单位矩阵合同,则|A|>0
⑧若|A|>0,则A与单位矩阵合同
④若A可逆,则A-1与AT合同
中正确的个数是

A.3个.

B.2个.

C.1个.

D.0个.

答案

参考答案:A

解析:[分析] 对命题①:由于A为n阶实可逆矩阵,且A与-A合同,则存在可逆矩阵C,使
-A=CTAC.
两边取行列式
(-1)n|A|=|CTAC|=|A||V|2
又A是可逆的,有|A|≠0,那么|C|2=(-1)n>0,则n必为偶数.故命题①正确.
对命题②:若A与单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C,使
E=CTAC,|A||C|2=1,
所以|A|>0.故命题②正确.
对命题③:设[*],满足|A|>0的条件,但A在实数范围内与E不合同,所以命题③不正确.
对命题④:若A可逆,则AT=ATA-1A,则AT与A-1合同.故命题④正确.
综上分析,应选(A).

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