问题
单项选择题
设A为n阶矩阵，则下列命题
①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数
②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0
⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同
④若A可逆，则A-1与AT合同
中正确的个数是
A．3个．
B．2个．
C．1个．
D．0个．
答案
参考答案：A
解析：[分析] 对命题①：由于A为n阶实可逆矩阵，且A与-A合同，则存在可逆矩阵C，使
-A=CTAC．
两边取行列式
(-1)n|A|=|CTAC|=|A||V|2．
又A是可逆的，有|A|≠0，那么|C|2=(-1)n＞0，则n必为偶数．故命题①正确．
对命题②：若A与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵C，使
E=CTAC，|A||C|2=1，
所以|A|＞0．故命题②正确．
对命题③：设[*]，满足|A|＞0的条件，但A在实数范围内与E不合同，所以命题③不正确．
对命题④：若A可逆，则AT=ATA-1A，则AT与A-1合同．故命题④正确．
综上分析，应选(A)．