问题
解答题
已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β，求
①以α3、β3为根的一元二次方程；
②若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有这样的一元二次方程．
答案
①∵方程x2-px+q=0的两根为α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α3+β3=（α+β）（α2-αβ+β2）=（α+β）3-3αβ（α+β）=p3-3pq，
α3β3=（αβ）3=q3，
∴以α3、β3为根的一元二次方程为x2-（p3-3pq）x+q3=0；
②由题意，得
，p3-3pq=p q3=q
由q3=q，得q=0，q=±1，
当q=0时，p3=p，p=0，±1；
当q=1时，p3=4p，p=0，±2；
当q=-1时，p3=-2p，p=0．
∵当p=0，q=1时，方程x2+1=0无实根，
∴满足条件的方程有x2=0；x2-x=0；x2+x=0；x2-2x+1=0；x2+2x+1=0；x2-1=0．
=（）。