（1）∵

MN

=

1

2

(

MF2

+

MP

)，∴点N是线段PF₂的中点

∵|

NM

+

F2P

|=|

NM

-

F2P

|，

∴(

NM

+

F2P

)2=(

NM

-

F2P

)2，化简可得

NM

•

F2P

=0 

∴NM⊥PF₂，可得MN是线段PF₂的垂直平分线

∴

|MF2|

=

|MP

|，可得

|MF1|

+

|MF2|

=

|PF1|

=4

因此，点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=1，可得b²=a²-c²=3

椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，即为点M的轨迹C的方程；

（2）设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1消去y，得（3+4k²）x²+8knx+4n²-12=0

可得根的判别式△=64k²n²-16（3+4k²）（4n²-12）＞0，化简得4k²-n²+3＞0…①

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8kn

3+4k2

，x₁x₂=

4n2-12

3+4k2

∵

OP

•

OQ

=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（k₁x+n）（k₂x+n）=0，（1+k²）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0

∴-

8kn

3+4k2

（1+k²）+

4n2-12

3+4k2

•kn+n²=0，整理得12k²=7n²-12…②

①②联解，得n²≥

4

3

，再由②知7n²≥12，可得n≤-

2

7

21

或n≥

2

7

21

故直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，-

2

7

21

]∪[

2

7

21

，+∞）

（2）设直线l的方程为y=

1

2

x+n，与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1消去y，得x²+nx+n²-3=0

可得根的判别式△=n²-4（n²-3）＞0，化简得n²＜4…①

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-n，x₁x₂=n²-3

∵

OP

•

OQ

=0

∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（

1

2

x+n）（

1

2

x+n）=0，

5

4

x₁x₂+

1

2

n（x₁+x₂）+n²=0

∴

5

4

（n²-3）+

1

2

n（-n）+n²=0，整理得n²=

15

7

…②

对照①②可得，n=±

105

7

所以存在直线l的方程：y=

1

2

x+

105

7

或y=

1

2

x-

105

7

，使得

OP

•

OQ

=0．