问题 填空题

直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为______.

答案

由题知抛物线焦点为(1,0)

当直线的斜率存在时,设为k,则焦点弦方程为y=k(x-1)

代入抛物线方程得所以k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知斜率不等于0,

方程是一个一元二次方程,由韦达定理:

x1+x2=

2k2+4
k2

所以中点横坐标:x=

x1+x2
2
=
k2+2
k2

代入直线方程

中点纵坐标:

y=k(x-1)=

2
k
.即中点为(
k2+2
k2
2
k

消参数k,得其方程为

y2=2x-2

当直线斜率不存在时,直线的中点是(1,0),符合题意,

故答案为:y2=2x-2

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