已知三点A（-1，0），B（1，0），C(-1，32)，曲线E过C点，且动点P在

问题解答题

已知三点A（-1，0），B（1，0），C(-1，

)，曲线E过C点，且动点P在曲线E上运动，并保持|PA|+|PB|的值不变．
（I）求曲线E的方程；
（II）若C、M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是曲线E上的不同三点，直线CM、CN的倾斜角互补．问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．

答案

（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）

∴由定义得P点轨迹是椭圆，

且b²=a²-c²=3．

因此，曲线E的方程为

=1.（5分）

（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，

设直线CM的方程为y=k(x+1)+

，

由

y=k(x+1)+

消去y，

整理得（4k²+3）x²+4k（2k+3）x+4k²+12k-3=0

∵C在椭圆上，

∴方程两根为-1，x1∴-x1=

4k2+12k-3

4k2+3

，x1=-

4k2+12k-3

4k2+3

.（9分）

∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

∴x2=-

4k2-12k-3

4k2+3

.（11分）

则x1-x2=

-24k

4k2+3

，x1+x2=

6-8k2

4k2+3

又y1=k(x1+1)+

，y2=-k(x2+1)+

，

∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(

6-8k2

4k2+3

+2)=

12k

4k2+3

∴直线MN的斜率KMN=

y1-y2

x1-x2

（定值）（13分）