（1）因为f(x)=x+

1

2x

+2，f（x）在[1，+∞）上为增函数，

所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=

7

2

．…（6分）

（2）问题等价于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．

即a＞-（x+1）²+1在[1，+∞）上恒成立．

 令g（x）=-（x+1）²+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）_max=-3，所以a＞-3，

即实数a的取值范围是（-3，+∞）．…（6分）