已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）（1）若M到点A

问题解答题

已知定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y）
（1）若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

，试求M的轨迹曲线C₁的方程；
（2）若曲线C₂是以C₁的焦点为顶点，且以C₁的顶点为焦点，试求曲线C₂的方程；
（3）是否存在过点F（

，0）的直线m，使其与曲线C₂交得弦|PQ|长度为8呢？若存在，则求出直线m的方程；若不存在，试说明理由．

答案

（1）∵定点A（1，0），定直线l：x=5，动点M（x，y），

M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

，

∴根据椭圆定义：M的轨迹为椭圆，

其中c=1，e=

，

∴a=

∴b=

5-1

∴则C₁轨迹方程为：

=1．

（2）∵C₁轨迹方程为：

=1，

∴C₁的焦点为：（1，0），（-1，0），C₁的顶点为：（

，0），（-

，0）

由题意可知：C₂为双曲线

则a′=1，c'=

，

则b′=

5-1

=2，

∴C₂轨迹方程为：x²-

=1．

（3）当直线m的斜率不存在时，m的方程为：x=

，

它与C₂：x²-

=1交于P（

，-4）和Q（

，4），得到得弦|PQ|=8．

当直线m的斜率存在时，m的方程为y=k（x-

），

联立方程组

5y=k(x-

)

x2-

，消去y，

整理得(4-k2)x2+2

k2x-5k2-4=0，

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

k2-4

，x1x2=

4+5k2

k2-1

，

∵弦|PQ|长度为8，∴

(1+k2)[(

k2-4

)2-

16+20k2

k2-4

]

=8，

解得k=±

，

∴直线m的方程为x=

或y=±

（x-

）．