问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与双曲线
x2
3
-y2=1
共焦点,点A(3,
7
)
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点Q(0,2),P为椭圆C上的动点,点M满足:
QM
=
MP
,求动点M的轨迹方程.
答案

(1)由已知得双曲线焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0),

由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a,∴

25+7
+
1+7
=2a,∴a=3
2

而c2=4,∴b2=a2-c2=18-4=14

∴所求椭圆方程为

x2
18
+
y2
14
=1

(2)设M(x,y),P(x0,y0),由

QM
=
MP
得(x,y-2)=(x0-x,y0-y)

x0=2x
y0=2y-2
而P(x0,y0)在椭圆
x2
18
+
y2
14
=1

(2x)2
18
+
(2y-2)2
14
=1

2x2
9
+
2(y-1)2
7
=1为所求M的轨迹方程.

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