问题
解答题
（理）已知点M（x，y）是曲线C1：3x3-4xy+24=0上的动点，与M对应的点P(
（1）求曲线C2的方程，并表示为y=f（x）的形式； （2）判断并证明函数y=f（x）在区间(
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答案
（1）设P（m，n）是曲线C2上的任意一点，则
∵P(
，x 2
)y 3
∴m=
，n=x 2 y 3
∴x=2m，y=3n
∴M（2m，3n）在曲线C1上…（3分）
∴3（2m）3-4（2m）（3n）+24=0，则曲线C2的方程为m3-mn+1=0
即x3-xy+1=0
所以y=f(x)=x2+
…（6分）1 x
（2）函数y=f（x）在区间(
，+∞)上是增函数1 3 2
证明：任取x1，x2∈(
，+∞)，x1＜x21 3 2
则f(x1)-f(x2)=(
+x 21
)-(1 x1
+x 22
)=(x1-x2)(x1+x2-1 x2
)…（9分）1 x1x2
∵
＜x1＜x2，1 3 2
∴x1+x2＞
=2 3 2
，x1x2＞(3 4
)2=1 3 2
＞01 3 4
∴
＜1 x1x2
，3 4
∴(x1+x2-
)＞0，1 x1x2
又x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-
)＜0，1 x1x2
∴f（x1）＜f（x2）
所以，函数y=f（x）在区间(
，+∞)上是增函数…（12分）1 3 2