（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），

当x≠±a时，由条件可得kMA1•kMA2=

y

x-a

•

y

x+a

=m，

即mx²-y²=ma²（x≠±a），

又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．

当m＜-1时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

 =1，C是焦点在y轴上的椭圆；

当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；

当-1＜m＜0时，曲线C的方程为

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦点在x轴上的椭圆；

当m＞0时，曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦点在x轴上的双曲线；

（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C₁方程为x²+y²=a²，

当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的焦点分别为F₁（-a

1+m

，0），F₂（a

1+m

，0），

对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，

的充要条件为

x02+y02=a2① 1 2 2a 1+m |y0|=|m|a2  ②

由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=

|m|a

1+m

，

当0＜

|m|a

1+m

≤a，即

1- 5

2

≤m＜0，或0＜m≤

1+ 5

2

时，

存在点N，使S=|m|a²，

当

|m|a

1+m

＞a，即-1＜m＜

1- 5

2

，或m＞

1+ 5

2

时，不存在满足条件的点N．

当m∈[

1- 5

2

，0）∪（0，

1+ 5

2

]时，由

NF1

=（-a

1+m

-x₀，-y₀），

NF2

=（a

1+m

-x₀，-y₀），

可得

NF1

•

NF2

=x₀²-（1+m）a²+y₀²=-ma²．

令|

NF1

|=r₁，|

NF2

|=r₂，∠F₁NF₂=θ，

则由

NF1

•

NF2

=r₁r₂cosθ=-ma²，可得r₁r₂=-

ma2

cosθ

，

从而s=

1

2

r₁r₂sinθ=-

ma2sinθ

2cosθ

=-

1

2

ma2tanθ，于是由S=|m|a²，

可得-

1

2

ma2tanθ=|m|a²，即tanθ=-

2|m|

m

，

综上可得：当m∈[

1- 5

2

，0）时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=2；

当m∈（0，

1+ 5

2

]时，在C₁上存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²，且tanθ=-2；

当(-1，

1- 5

2

)∪(

1+ 5

2

，+∞)时，不存在满足条件的点N．