问题 解答题

设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立?若存在,试求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案

解法一:由条件得1-ax-x2<2-a对于x∈[0,1]恒成立

令g(x)=x2+ax-a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可.

g(x)=x2+ax-a+1=(x+

a
2
2-
a2
4
-a+1.

①当-

a
2
<0,即a>0时,g(x)min=g(0)=1-a>0,∴a<1,故0<a<1;

②当0≤-

a
2
≤1,即-2≤a≤0时,g(x)min=g(-
a
2
)=-
a2
4
-a+1>0,∴-2-2
2
<a<-2+2
2
,故-2≤a≤0;

③当-

a
2
>1,即a<-2时,g(x)min=g(1)=2>0,满足,故a<-2.

故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).

解法二:由1-ax-x2<2-a得(1-x)a<x2+1,

∵x∈[0,1],∴1-x≥0,

∴①当x=1时,0<2恒成立,此时a∈R;

②当x∈[0,1)时,a<

x2+1
1-x
恒成立.

求当x∈[0,1)时,函数y=

x2+1
1-x
的最小值.

令t=1-x(t∈(0,1]),则y=

x2+1
1-x
=
(1-t)2+1
t
=t+
2
t
-2,

而函数y=t+

2
t
-2是(0,1]上的减函数,所以当且仅当t=1,即x=0时,ymin=1.

故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需a<1,

由①②得a<1.

故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).

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