（Ⅰ）由f(x)=x-e

x

a

 (a＞0)，得：f′(x)=1-

1

a

e

x

a

，则f′(0)=1-

1

a

，f（0）=-1．

∴曲线y=f（x）在x=0的切线l的方程为y=(1-

1

a

)x-1．

若l与曲线y=e^x相切，设切点为（x₀，y₀），则

ex0=1- 1 a ex0=(1- 1 a )x0-1

①．

由a＞0，得：0＜ex0=1-

1

a

＜1，∴x₀＜0，

由①得x0=1+

1

1- 1 a

＞1．与x₀＜0矛盾．

∴曲线y=f（x）在x=0的切线不能与曲线y=e^x相切．

（Ⅱ）令f^′（x）=0，得1-

1

a

e

x

a

=0，即x=alna．

由f^′（x）＞0，得x＜alna，由f^′（x）＜0，得：x＞alna．

∴f（x）在（-∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数．

∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）_max=f（a）=a-e．

当a≤alna≤2a，即e≤a≤e²时，f（x）_max=f（alna）=alna-a．

当2a＜alna，即a＞e²时，f(x)max=f(2a)=2a-e2．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知f（x）_max=f（alna）=alna-a．

∵f（x₁）=f（x₂）=0，∴f（x）_max=f（alna）=alna-a＞0．

∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a-e＞0，且f（alna）＞0．

得x₂-x₁＞alna-a，又x1=e

x1

a

，x2=e

x2

a

，

∴

x1

x2

=e

1

a

(x1-x2)＜e

1

a

(a-alna)=

e

a

．