问题
解答题
已知抛物线C：y2=4（x-1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合．
（1）设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程；
（2）如果直线x+y=m与曲线C2相交于不同两点M、N，求m的取值范围．
答案
（1）抛物线y2=4（x-1）焦点为F（2，0），准线l：x=0．设P（x，y），
∵P为BF中点，
∴B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，
则c=（2x-2）-2=2x-4，b2=（2y）2=4y2，
∵（-c）-（-
）=2，a2 c
∴
=2，a2-c2 c
即b2=2c．∴4y2=2（2x-4），
即y2=x-2（y≠0），此即C2的轨迹方程．
（2）由
，y≠0，知y2+y-m+2=0，x+y=m y2=x-2
令△=1-4（-m+2）＞0，知m＞
．7 4
而当m=2时，直线x+y=2过点（2，0），这时它与曲线C2只有一个交点，
∴所求m的取值范围是（
，2）∪（2，+∞）．7 4