已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈z）为偶函数，且以f（2011）＜f（

问题解答题

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈z）为偶函数，且以f（2011）＜f（2012）．

（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；

（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

答案

（1）由题意得：-2m²+m+3是偶数且-2m²+m+3＜0，

∴-1＜m＜

，且m∈Z，∴m=0或1，

当m=0时，-2m²+m+3=3为奇数，不合，当m=1时，-2m²+m+3=2为偶数，

∴m的值为1，f（x）=x²；

（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a（x²-ax），设t=x²-ax，

当a＞1时，由于g（x）=log_at是增函数，故只须函数t=x²-ax在[2，3]是增函数，且函数t大于0，

则

≤2

4-2a＞0

，解得1＜a＜2．

当 1＞a＞0时，由题意可得函数t=x²-ax在[2，3]应是减函数，且函数t大于0，

故

≥3

9-3a＞0

，此时无解

综上，实数a的取值范围是（1，2）．