问题 解答题
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率e=
3
2
.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|.
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论.
答案

(1)由题意,可得a=2,e=

c
a
=
3
2
,可得c=
3
,-----------------(2分)

∴b2=a2-c2=1,

因此,椭圆的方程为

x2
4
+y2=1.-----------------(4分)

(2)设C(x,y),P(x0,y0),由题意得

x=x0
y=2y0
,即
x0=x
y0=
1
2
y
,-----------------(6分)

x02
4
+y02=1,代入得
x2
4
+(
1
2
y)2=1
,即x2+y2=4.

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4.-----------------(8分)

(3)设C(m,n),点R的坐标为(2,t),

∵A、C、R三点共线,∴

AC
AR

AC
=(m+2,n),
AR
=(4,t),则4n=t(m+2),

∴t=

4n
m+2
,可得点R的坐标为(2,
4n
m+2
),点D的坐标为(2,
2n
m+2
),-----------------(10分)

∴直线CD的斜率为k=

n-
2n
m+2
m-2
=
mn
m2-4

而m2+n2=4,∴-n2=m2-4,代入上式可得k=

mn
-n2
=-
m
n
,-----------------(12分)

∴直线CD的方程为y-n=-

m
n
(x-m),化简得mx+ny-4=0,

∴圆心O到直线CD的距离d=

4
m2+n2
=
4
4
=2=r,

因此,直线CD与圆O相切,即CD与曲线E相切.-----------------(14分)

多项选择题
问答题

背景
某水利枢纽工程由电站、溢洪道和土坝组成。主坝为均质土坝,上游设干砌石护坡,下游设草皮护坡和堆石排水体,坝顶设碎石路。
工程实施过程中发生下述事件:
事件1:项目法人委托该工程质量监督机构对于大坝填筑按《水利水电基本建设工程单元工程质量评定标准》规定的检验数量进行质量检查。质量监督机构受项目法人委托,承担了该工程质量检测任务。
事件2:土坝施工单位将坝体碾压分包给具有良好碾压设备和丰富经验的乙公司承担。合同文件中,单元工程的划分标准是以40m坝长、20cm铺料厚度为单元工程的计算单位,铺料为一个单元工程,碾压为另一个单元工程。
事件3:该工程监理单位给施工单位“监理通知”如下:经你单位申请并提出设计变更,我单位复核同意将坝下游排水体改为浆砌石,边坡由1:2.5改为1:2。
事件4:土坝单位工程完工验收结论为:本单位工程划分为30个分部工程,其中质量合格12个,质量优良18个,优良率为60%,主要分部工程(坝顶碎石路)质量优良,且施工中未发生重大质量事故;中间产品质量全部合格,其中混凝土拌合物质量达到优良;原材料质量、金属结构及启闭机制造质量合格;外观质量得分率为83%。所以,将本单位工程质量评定为优良。
事件5:该工程项目单元工程质量评定表由监理单位填写,土坝单位工程完工验收由施工单位主持。工程截流验收及移民安置验收由项目法人主持。
问题:

简要分析事件2中存在的问题及理由。