问题
解答题
在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为-
（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由． |
答案
设P点的坐标为（x，y）
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为-
．3 4
∴
•y x+2
=-y x-2
（x≠±2）3 4
整理得P点的轨迹方程为
+x2 4
=1（x≠±2）y2 3
（2）设直线l的方程为x=ny+1
联立方程x=ny+1与
+x2 4
=1（x≠±2）得y2 3
（3n2+4）y2+6ny-9=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=
，y1•y2=-6n 3n2+4 -9 3n2+4
△MON的面积S=
•|OP|•|y1-y2|=1 2 1 2
=(y1+y2)2-4y1•y2
=6 n2+1 3n2+4
=6 n2+1 3(n2+1)+1 6 3
+n2+1 1 n2+1
令t=
，则t≥1，且y=3t+n2+1
在[1，+∞）是单调递增1 t
∴当t=1时，y=3t+
取最小值41 t
此时S取最大值3 2
此时直线的方程为x=1
