已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ

问题解答题

已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

答案

（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=

|MN|，

∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，

∴（x-4）²+y²=4²+x²，化为y²=8x．

（II）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

=8x1，

=8x2．

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k_PB=-k_QB，

∴

x1+1

x2+1

，∴

-y2

，化为8+y₁y₂=0．

直线PQ的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，

∴y-y1=

y2-y1

(x-x1)，化为y-y1=

y2+y1

(x-

)，

化为y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-

，

y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，则x=1，

∴直线PQ过定点（1，0）