（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，

1+t

，

1-t

，（3分）

由f（1）=0，得c=-a-b-1

∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]，

故方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是

1-t

，

1+t

．

故

1-t

+

1+t

=-(a+1)，

1-t

•

1+t

=a+b+1．（4分）

(

1-t

+

1+t

)2=(a+1)2，即2+2（a+b+1）=（a+1）²

∴a²=2b+3．（5分）

（Ⅱ）①依题意x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根，

故有x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，

且△=（2a）²-12b＞0，得b＜3．

由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2-3b

3

=

2 3-b

3

（7分）

2 3-b

3

=

2

3

；得，b=2，a²=2b+3=7．

由（Ⅰ）知

1-t

+

1+t

=-(a+1)＞0，故a＜-1，

∴a=-

7

，c=-(a+b+1)=

7

-3

∴f(x)=x3-

7

x2+2x+

7

-3．（9分）

②|M-N|=|f（x₁）-f（x₂）|

=|（x₁³-x₂³）+a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）|

=|x₁-x₂|•|（x₁+x₂）²-x₁x₂+a（x₁+x₂）+b|

=

2 3-b

3

|(-

2a

3

)2-

b

3

+a•(-

2a

3

)+b|

=

4

27

(3-b)

3

2

（或

4

27

(

9-a2

2

)

3

2

）．（11分）

由（Ⅰ）(a+1)2=(

1-t

+

1+t

)2=2+2

1-t2

∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）²＜4，

又a＜-1，

∴-2＜a+1＜-

2

，

-3＜a＜-

2

-1，3+2

2

＜a2＜9（或

2

＜b＜3）（13分）

∴0＜|M-N|＜

4

27

(3-

2

)

3

2

．（15分）