因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴-

b

2a

=-1，b=2a，

由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，

则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=

1

2

，a=

1

4

，c=

1

4

，故f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

取x=1，有f（t+1）≤1，即

1

4

（t+1）²+

1

2

（t+1）+

1

4

≤1，解得-4≤t≤0，

对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即

1

4

（t+m）²+

1

2

（t+m）+

1

4

≤m．

化简有：m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0，解得1-t-

-4t

≤m≤1-t+

-4t

，

故m≤1-t-

-4t

≤1-（-4）+

-4(-4)

=9

当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，

恒有f（x-4）-x=

1

4

（x²-10x+9）=

1

4

（x-1）（x-9）≤0．

∴m的最大值为9．

∵f（x-4）=f（2-x）

∴函数的图象关于x=-1对称

∴-

b

2a

=-1b=2a

由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0

由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1

∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0

∴a=

1

4

b=

1

2

c=

1

4

∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

…（5分）

假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x

取x=1时，有f（t+1）≤1⇒

1

4

（t+1）²+

1

2

（t+1）+

1

4

≤1⇒-4≤t≤0

对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有

f（t+m）≤m⇒

1

4

（t+m）²+

1

2

（t+m）+

1

4

≤m⇒m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0⇒1-t-

-4t

≤m≤1-t+

-4t

…（10分）

∴m≤1-t+

-4t

≤1-(-4)+

-4•(-4)

=9 …（15分）

当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有

f（x-4）-x=

1

4

（x²-10x+9）=

1

4

（x-1）（x-9）≤0

∴m的最大值为9． …（20分）

另∵f（x-4）=f（2-x）

∴函数的图象关于x=-1对称

∴-

b

2a

=-1b=2a

由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0

由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1

∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0

∴a=

1

4

b=

1

2

c=

1

4

∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）² …（5分）

由f（x+t）=

1

4

（x+t+1）²≤x 在x∈[1，m]上恒成立

∴4[f（x+t）-x]=x²+2（t-1）x+（t+1）²≤0当x∈[1，m]时，恒成立

令 x=1有t²+4t≤0⇒-4≤t≤0

令x=m有t²+2（m+1）t+（m-1）²≤0当t∈[-4，0]时，恒有解 …（10分）

令t=-4得，m²-10m+9≤0⇒1≤m≤9 …（15分）

即当t=-4时，任取x∈[1，9]恒有

f（x-4）-x=

1

4

（x²-10x+9）=

1

4

（x-1）（x-9）≤0

∴m_max=9 …（20分）