问题
解答题
已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积-
（1）求点M轨迹C的方程； （2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）． |
答案
（1）、设M（x，y），∵kAM-kBM=-
，∴1 2
•y+1 x
=-y-1 x
，1 2
整理得动点M的轨迹方程为
+y2=1(x≠0)．x2 2
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y=k(x-2)(k≠±
) ①1 2
将①代入
+y2=1，得l的方程为（2k2+1）x2-8k2x+（8k2-2）=0，由△＞0，解得0＜k2＜x2 2
．1 2
设E（x1，y1），F（x2，y2），则
…②x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1
令λ=
，则λ=S△ODE S△ODF
，即|DE| |DF|
=λ•DE
，即x1-2=λ(x2-2)，且0＜λ＜1．DF
由②得，
，(x1-2)+(x2-2) = -4 2k2+1 (x1-2)(x2-2) =x1x2-2(x1+x2) +4= 2 2k2+1
∴
=λ (1+λ)2
，即k2=2k2+1 8
-4λ 2k2+1 1 2
∵0＜k2＜
，且k2≠1 2
，∴0＜1 4
-4λ (1+λ)2
＜1 2
，且1 2
-4λ (1+λ)2
≠1 2
．1 4
解得3-2
＜λ＜ 3+22
，且λ≠2
，∵0＜λ＜1，∴3-21 3
＜λ＜ 1且λ≠2
．1 3
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是(3-2
，2
)∪ (1 3
，1)．1 3