（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．

当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

，

由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，

所以-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，所以a＞0．

当a＜0时，不符合题意．

综上，a的取值范围是a≥0．

（Ⅱ）把方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)整理为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，

即为方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．

设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），

原方程在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根，

即为函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点

H′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）

当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；

当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．

H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，

只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即

a e2 + 1-2a e +1= (1-2a)e+a+e2 e2 ＞0 H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

∴

a＜ e2+e 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

，

所以a的取值范围是（1， 

e2+e

2e-1

）．