（Ⅰ）设点A（a，0），B（0，b），C（x，y），

∵

AP

=t

PB

，即（x-a，y）=t（-x，b-y），即

x-a=-tx y=t(b-y).

（2分）

则

a=(1+t)x b= 1+t t y

．

又∵|AB|=2，即a²+b²=4．

∴

(1+t)2x2

4

+

(1+t)2y2

4t2

=1．

∴点P的轨迹方程C：

x2

4 (1+t)2

+

y2

4t2 (1+t)2

=1．（5分）

（Ⅱ）∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，

∴

4

(1+t)2

＞

4t2

(1+t)2

，得t²＜1．

又∵t＞0，∴0＜t＜1．（8分）

（Ⅲ）当t=2时，曲线C的方程为

9x2

4

+

9y2

16

=1．（9分）

设M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁），则|MN|=2

x12+y12

．

当x₁≠0时，设直线MN的方程为y=

y1

x1

x，

则点Q到直线MN的距离h=

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

，

∴△QMN的面积S=

1

2

•2

x12+y12

•

| 3 2 y1-3x1|

x12+y12

=|

3

2

y1-3x1|．（11分）

∴S2=|

3

2

y1-3x1|2=9x12+

9

4

y12-9x1y1．

又∵

9x12

4

+

9y12

16

=1，

∴9x12+

9

4

y12=4．

∴S²=4-9x₁y₁．

而1=

9x12

4

+

9y12

16

≥-2•

3x1

2

•

3y1

4

=-

9x1y1

4

，

则-9x₁y₁≤4．即S2≤8，S≤2

2

．

当且仅当

3x1

2

=-

3y1

4

时，

即x1=-

1

2

y1时，“=”成立．

当x₁=0时，|MN|=2•

4

3

=

8

3

，

∴△QMN的面积S=

1

2

•

8

3

•

3

2

=2．

∴S有最大值2

2

．（14分）