问题
解答题
直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（8，0），动点M（x，y）满足
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程； （2）过定点F（2，0）作互相垂直的直线l1，l2分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值； （3）定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足KPA•KPB=8试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由． |
答案
（1）由题意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x2，
∴y2=8x为点M的轨迹方程；
（2）由题设条件知直线l1，l2的斜率都存在，且不为0，
设MN的方程为y=k（x-2），与y2=8x联立，得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=
，4k2+8 k2
由抛物线定义知：|MN|=x1+x2+4=
，8(k2+1) k2
同理，RQ的方程为y=-
(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，1 k
∴SMRNQ=
|MN||RQ|=32×1 2 (k2+1)2 k2
=32(k2+
+2)≥32(2+2)=128，1 k2
当且仅当k2=1，k=±1时，取“=”号，故四边形MRNQ面积的最小值为128．
（3）设A（
，y1），B(y12 8
，y2)，（y1≠y2），y22 8
则kPA=
，kPB=8 y1+4
，8 y2+4
∴kPA•kPB=
=8，64 (y1+4)(y2+4)
∴y1y2+4（y1+y2）+8=0…①
lAB：y-y1=
(x-8 y1+y2
)，y12 8
∴y=
x+8 y1+y2
，y1y2 y1+y2
∴y1y2-（y1+y2）y+8x=0，
与①比较知，直线AB过定点（1，-4）．
