已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．试求点H的轨迹方程．

答案

（Ⅰ）由题意知：e=

，a-c=1，a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．

故椭圆的方程为

=1．

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

（1）若l⊥x轴，可设H（x₀，0），因OA⊥OB，则A（x₀，±x₀）．由

x02

=1，得

，即H(±

，0)．

若l⊥y轴，可设H（0，y₀），同理可得H(0，±

)．

（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，

由

y=kx+m

，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．

则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．由OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=0．故

4m2-12

3+4k2

3m2-12k2

3+4k2

=0，即7m²=12（k²+1）（记为①）．

由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-

x．联立方程组

y=kx+m

y=-

，得

k=-

（记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=

．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=

．