问题
解答题
在平面直角坐标系中，已知A1(-
（1）求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型； （2）当λ=
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答案
（1）
=(x，1)，OM
=(x，-2)，ON
=(x+A1P
，y)，2
=(x-A2P
，y)2
∵λ2
•OM
=ON
•A1P
∴（x2-2）λ2=x2-2+y2化简得：（1-λ2）x2+y2=2（1-λ2）A2P
①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线
②λ=0时方程为x2+y2=2轨迹为圆
③λ∈（-1，0）∪（0，1）时方程为
+x2 2
=1轨迹为椭圆y2 2(1-λ2)
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时方程为
-x2 2
=1轨迹为双曲线y2 2(λ2-1)
（2）∵λ=
，∴P点轨迹方程为2 2
+y2=1，x2 2
∴S△OBE=
×2×|x1|，S△OBF=1 2
×2×|x2|1 2
∴S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|
设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得：（1+2k2）x2+8kx+6=0．
∴△=64k2-24-48k2＞0，∴k2＞
.x1+x2=-3 2
，x1•x2=8k 1+2k2
，6 1+2k2
∴
=(x1+x2)2 x1•x2
=64k2 6(1+2k2)
+x1 x2
+2，∵k2＞x2 x1
，∴3 2
∈(4，64k2 6(1+2k2)
)16 3
∴
∈(x1 x2
，1)∪(1，3)1 3
由题意可知：S△OBE＜S△OBF，所以
∈(S△OBE S△OBF
，1)．1 3