问题
解答题
已知直线l1：x-y=0，l2：x+y=0，点P是线性约束条件
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在过点（2，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于点A、B，线段AB的垂直平分线交y轴于Q点，且使得△ABQ是等边三角形．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由． |
答案
（Ⅰ）设P（x0，y0），由题意有l1⊥l2，且PM⊥l1，PN⊥l2，
∴四边形PMON是矩形，
∴SPMON=2S△MON=|PM|•|PN|=1，
∴
•|x0-y0| 2
=1，|x0+y0| 2
∴|x02-y02|=2，
∵P在
所表示的区域内，x-y≥0 x+y≥0
∴x02-y02=2（x0＞0），
所以求得动点P的轨迹方程为x2-y2=2（x＞0）．
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．
当l⊥x轴时，有l：x=2．
此时|AB|=2
，|AQ|=|BQ|=2
，△ABQ不是正三角形．6
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-2），
并设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，x2-y2=2 y=k(x-2)
得（1-k2）x2+4k2-2=0，
△=8k2+8＞0恒成立，
∵l与双曲线的右支交于两点，
∴|k|＞1．
∴x1+x2=
，y1+y2=4k2 k2-1
，4k k2-1
∴线段AB的中点M(
，2k2 k2-1
)，2k k2-1
∴线段AB的垂直平分线为y-
=-2k k2-1
(x-1 k
)，2k2 k2-1
∴Q(0，
)，4k k2-1
∵△ABQ是等边三角形，
∴|MQ|=
|AB|．3 2