问题
解答题
| 已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过点M的直线与轨迹W交于A，B两点． （Ⅰ）求轨迹W的方程； （Ⅱ）若2
|
答案
（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
且a=1，c=2，b=
．3
∴轨迹W的方程为x2-
2=1(x≥1)．（4分）y 3
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2）．
由
得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0．（5分）y=k(x-2) x2-
2=1y 3
设A（x1，y1）．B（x2，y2），
则x1+x2=
＞0，①4k2 k2-3
x1x2=
＞0，②4k2+3 k2-3
△=16k4+4（3-k2）（4k2+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k2＞3．（9分）
∵2
=AM
，MB
∴2（2-x1，-y1）=（x2-2，y2），
∴x2=6-2x1．代入①②，得
=6-x1，4k2 k2-3
=x1(6-2x1)．4k2+3 k2-3
消掉x1得k2=35，k=±
．（11分）35
∵M（2，0）为双曲线右支的焦点，离心率e=2．由双曲线的几何性质，
得|AB|=e(x1+x2)-2a=2×
-2=4k2 k2-3
．6(k2+1) k2-3
设以AB为直径的圆的圆心为Q，Q到直线l的距离为d，
则d=
-x1+x2 2
=1 2
．3(k2+1) 2(k2-3)
∴d-
=|AB| 2
-3(k2+1) 2(k2-3)
=-3(k2+1) k2-3
＜0．3(k2+1) 2(k2-3)
∴d＜
，直线l与圆Q相交．（14分）|AB| 2