证明：（1）当a=1时，f(x)=x+

1

x

（x＞0，a＞0），f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．…（2分）

∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴

x2-1

x2

＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．   …（6分）

（2）f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，…（7分）

使f（x）在（0，2）上是减函数，则当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，…（9分）

即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4．    …（12分）