一动圆和直线l:x=-
(Ⅰ)求动圆的圆心θ的轨迹C的方程; (Ⅱ)若过点P(2,0)且斜率为k的直线交曲线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. 求证:OM⊥ON. |
( I)∵动圆和直线l:x=-
相切,并且经过点F(1 2
,0),1 2
∴圆心θ到F(
,0)的距离等于θ到定直线l:x=-1 2
的距离,都等于圆的半径…(2分)1 2
根据抛物线的定义,可得:圆心θ的轨迹C就是以F为焦点,l为准线的抛物线,…(3分)
设抛物线方程为y2=2px,其中
=p 2
,解得p=11 2
∴抛物线方程是y2=2x,即为所求轨迹C的方程.…(6分)
( II)证明:设过点P(2,0)且斜率为k的直线的方程为
y=k(x-2)(k≠0)①…(7分)
代入y2=2x消去y,可得k2x2-2(k2+1)x+4k2=0.②…(8分)
由根与系数的关系,得x1x2=
=4.…(9分)4k2 k2
结合y12=2x1,y22=2x2,可得y1y2=
=24x2x2
=4.…(10分)x2x2
∴
•OM
=x1x2+y1y2=4-4=0,ON
由此可得向量
、OM
夹角为90°,即OM⊥ON.…(12分)ON