问题 解答题
一动圆和直线l:x=-
1
2
相切,并且经过点F(
1
2
,0)

(Ⅰ)求动圆的圆心θ的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点P(2,0)且斜率为k的直线交曲线C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
求证:OM⊥ON.
答案

( I)∵动圆和直线l:x=-

1
2
相切,并且经过点F(
1
2
,0)

∴圆心θ到F(

1
2
,0)的距离等于θ到定直线l:x=-
1
2
的距离,都等于圆的半径…(2分)

根据抛物线的定义,可得:圆心θ的轨迹C就是以F为焦点,l为准线的抛物线,…(3分)

设抛物线方程为y2=2px,其中

p
2
=
1
2
,解得p=1

∴抛物线方程是y2=2x,即为所求轨迹C的方程.…(6分)

( II)证明:设过点P(2,0)且斜率为k的直线的方程为

y=k(x-2)(k≠0)①…(7分)

代入y2=2x消去y,可得k2x2-2(k2+1)x+4k2=0.②…(8分)

由根与系数的关系,得x1x2=

4k2
k2
=4.…(9分)

结合y12=2x1y22=2x2,可得y1y2=

4x2x2
=2
x2x2
=4.…(10分)

OM
ON
=x1x2+y1y2=4-4=0,

由此可得向量

OM
ON
夹角为90°,即OM⊥ON.…(12分)

单项选择题
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