问题
解答题
一动圆和直线l：x=-
（Ⅰ）求动圆的圆心θ的轨迹C的方程； （Ⅱ）若过点P（2，0）且斜率为k的直线交曲线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点． 求证：OM⊥ON． |
答案
（ I）∵动圆和直线l：x=-
相切，并且经过点F(1 2
，0)，1 2
∴圆心θ到F(
，0)的距离等于θ到定直线l：x=-1 2
的距离，都等于圆的半径…（2分）1 2
根据抛物线的定义，可得：圆心θ的轨迹C就是以F为焦点，l为准线的抛物线，…（3分）
设抛物线方程为y2=2px，其中
=p 2
，解得p=11 2
∴抛物线方程是y2=2x，即为所求轨迹C的方程．…（6分）
（ II）证明：设过点P（2，0）且斜率为k的直线的方程为
y=k（x-2）（k≠0）①…（7分）
代入y2=2x消去y，可得k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．②…（8分）
由根与系数的关系，得x1x2=
=4．…（9分）4k2 k2
结合y12=2x1，y22=2x2，可得y1y2=
=24x2x2
=4．…（10分）x2x2
∴
•OM
=x1x2+y1y2=4-4=0，ON
由此可得向量
、OM
夹角为90°，即OM⊥ON．…（12分）ON