问题
解答题
已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
（1）求双曲线C1的方程； （2）求动点M的轨迹C2的方程； （3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由． |
答案
（1）可设c1方程为 4x2-9y2=λ，又点（6，2
）在曲线上代入得λ=36．3
所以双曲线C1的方程为：
-x2 9
=1 …（4分）y2 4
（2）由题意A1（-3，0），A2（3，0），Q（x0，y0）．
当P异于顶点时，KPA 1=
=y x+3
，KPA 2=y0 x0+3
=y x-3 -y0 x0-3
所以
=y2 x2-9
=--y02 x02-9
即 4 9
+x2 9
=1， (x≠±3)．y2 4
当P为顶点时直线PA1与 QA2的交点为顶点
所以
+x2 9
=1．…（9分）y2 4
（3）设L交曲线C2于A（x1，y1），B（x2，y2），可设L方程为x=ty+1 （t≠0）
代入C2方程得 （9+4t2）y2+8ty-5=0
y1+y2=
，y1y2=-8t 9+4t2
．-5 9+4t2
若存在N，则KAN+KBN=0 即
+y1 x1-xN
=0．y2 x2-xN
∴y1（ty2+1-xN）+y2（ty1+1-xN）=0
即 2t•
+（1-xN）•-5 9+4t2
=0对t恒成立-8t 9+4t2
所以 xN=9 4
故点N坐标为（
，0）…（14分）9 4