已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x轴于A点，交y轴于B点，

问题填空题

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线交x轴于A点，交y轴于B点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．则线段AB中点的轨迹方程为______．

答案

由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，

所以已知圆的圆心为（1，1），半径=1，

设直线方程为

=1．

即bx+ay-ab=0．

因为圆心到切线距离等于半径，

所以

|b+a-ab|

a2+b2

=1，

（a+b-ab）²=a²+b²，

设AB中点为（x，y），则x=

，y=

，

即a=2x，b=2y，代入（a+b-ab）²=a²+b²，

得（2x+2y-4xy）²=4x²+4y²，

整理得2x²y²+xy-2x²y-2xy²=0．

因为a，b都不等于0，

所以x，y也不等于0．

则2xy+1-2x-2y=0

其中x=

＞1，y=

＞1．

所以线段AB中点的轨迹方程为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．

故答案为2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．