问题
解答题
已知f(x)=loga
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由． （3）讨论f（x）函数的单调性． |
答案
（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）=loga
=loga(1-x 1+x
)-1=-loga1+x 1-x
=-f（x），1+x 1-x
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga
=0⇒1+x 1-x
=1⇒1+x=1-x⇒x=0，1+x 1-x
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=loga
-loga1+x1 1-x1
=loga(1+x2 1-x2
•1-x2 1-x1
)，1+x1 1+x2
∵-1＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜2，0＜1+x1＜1+x2＜2，
∴0＜
＜1，0＜1-x2 1-x1
＜1，1+x1 1+x2
∴0＜
•1-x2 1-x1
＜1，1+x1 1+x2
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．